Cho hàm số $ y=-x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } +9x-1 $ có đồ thị là $ (C) $.

Gọi điểm $ M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right )∈(C) $ là toạ độ tiếp điểm. Ta có: $ y'\left ( { x_{ 0 } } \right )=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { y\left ( { x } \right )-y\left ( { x_{ 0 } } \right ) } { x-x_{ 0 } }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { -\left ( { x ^ { 3 } -x_{ 0 } ^{ 3 } } \right )+3\left ( { x ^ { 2 } -x_{ 0 } ^{ 2 } } \right )+9\left ( { x-x_{ 0 } } \right ) } { x-x_{ 0 } } $ = $ \lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \left[ -\left ( { x ^ { 2 } +x.x_{ 0 } +x_{ 0 } ^{ 2 } } \right )+3\left ( { x+x_{ 0 } } \right )+9 \right]=-3x_{ 0 } ^{ 2 }+6x_{ 0 } +9 $ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ M $ là $ y'\left ( { x_{ o } } \right )=-3x_{ o } ^{ 2 }+6x_{ o } +9 $. a) Đúng. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ M\left ( { 0;-1 } \right ) $ bằng $ y'(0)=9 $. b) Đúng. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm $ M\left ( { 0;-1 } \right ) $ là: $ y=9(x-0)-1⇔y=9x-1 (Δ) $ c) Sai. Ta có $ (Δ) $ cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm $ A\left ( { \frac { 1 } { 9 };0 } \right ),B(0;-1) $ nên diện tích tam giác $ OAB $ vuông tại $ O $ bằng: $ S_{ ΔOAB } =\frac { 1 } { 2 }OA⋅OB=\frac { 1 } { 2 }⋅\frac { 1 } { 9 }⋅1=\frac { 1 } { 18 }{ \rm{ } } $(đơn vị diện tích) d) Đúng. Ta thấy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ N $ trên đồ thị là $ (C) $ một hàm số bậc 2 có đồ thị là một parabol, có đỉnh $ S\left ( { -\frac { b } { 2a };-\frac { Δ } { 4a } } \right )⇒S(1;12) $ và hệ số $ a=-3 < 0 $ nên hàm số có giá trị lớn nhất bằng 12 tại $ x_{ o } =1 $. Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến là $ y'(1)=12 $.