Gọi $(C)$ là đồ thị của hàm số $f(x) = \frac{x+3}{x-1}$ và $(\Delta_1), (\Delta_2)$ là hai tiếp tuyến của $(C)$ có phương vuông góc với đường thẳng $d: y = x$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $(\Delta_1), (\Delta_2)$ (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy).

TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Gọi $(x_0; y_0)$ là tiếp điểm; $y_0 = \frac{x_0+3}{x_0-1}$. Ta có: Bằng định nghĩa đạo hàm ta tính được $f'(x_0) = \frac{-4}{(x_0-1)^2}$. YCBT: $f'(x_0) \cdot 1 = -1 \Leftrightarrow (x_0-1)^2 = 4 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x_0 - 1 &= 2 \\ x_0 - 1 &= -2 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x_0 &= 3 \Rightarrow y_0 = 3 \\ x_0 &= -1 \Rightarrow y_0 = -1 \end{aligned}\right.$. Tiếp tuyến tại $(3;3)$ là $(\Delta_1): y = -1(x-3) + 3 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0$. Tiếp tuyến tại $(-1;-1)$ là $(\Delta_2): y = -1(x+1) - 1 \Leftrightarrow x + y + 2 = 0$. Khoảng cách giữa $(\Delta_1)$ và $(\Delta_2)$ là $d((\Delta_1), (\Delta_2)) = \frac{|2 - (-6)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66$.