Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=-x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } $(1).

a) Đúng. $ y\left ( { 1 } \right )=-1 ^ { 3 } +3.1 ^ { 2 } =2 $ nên đồ thị hàm số (1) đi qua điểm $ M(1;2) $. b) Sai. Ta có $ f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { x_{ 0 } } \right ) } { x-x_{ 0 } }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { -\left ( { x ^ { 3 } -x_{ 0 } ^ { 3 } } \right )+\left ( { 3x ^ { 2 } -3x_{ 0 } ^ { 2 } } \right ) } { x-x_{ 0 } } $ $ =\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \left ( { -\left ( { x ^ { 2 } +x_{ 0 } x+x_{ 0 } ^ { 2 } } \right )+3\left ( { x+x_{ 0 } } \right ) } \right )=-3x_{ 0 } ^ { 2 } +6x_{ 0 } $ Khi $ y_{ 0 } =2 $ thì $ x_{ 0 } =1±\sqrt[] { 3 };\,\,x_{ 0 } =1 $; Nên hệ số góc tại điểm $ y_{ 0 } =2 $ là $ y'\left ( { 2 } \right ) $ là sai. c) Sai. Ta có: $ f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=-3x_{ 0 } ^{ 2 }+6x_{ 0 } ⇒f'\left ( { 1 } \right )=-3.1 ^ { 2 } +6.1=3 $ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $ M(1;2) $ là $ y=f'(1)\left ( { x-1 } \right )+2⇔y=3\left ( { x-1 } \right )+2⇔y=3x-1 $ d) Đúng. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm $ M\left ( { x_{ 0 } ;f\left ( { x_{ 0 } } \right ) } \right ) $ là $ k=f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=-3x_{ 0 } ^{ 2 }+6x_{ 0 } =-3\left ( { x_{ 0 } -1 } \right ) ^ { 2 } +3≤3 $. Vậy $ k_{ \max } =3 $ khi $ x_{ 0 } =1⇒M\left ( { 1;2 } \right ) $. Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $ M(1;2) $ là $ Δ:y=3x-1 $