Phương trình tiếp tuyến của đường cong $ y=x ^ { 3 } $ tại điểm có hoành độ $ x_{ 0 } =2 $ là $ y=ax+b $. Tính giá trị của biểu thức $ P=a-b $.

Xét đường cong $ y=f(x)=x ^ { 3 } $ Ta có: $ f'(x_{ 0 } )=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { x_{ 0 } } \right ) } { x-x_{ 0 } }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \frac { x ^ { 3 } -x_{ 0 } ^{ 3 } } { x-x_{ 0 } }=\lim\limits_{ x→x_{ 0 } } \left ( { x ^ { 2 } +x.x_{ 0 } +x_{ 0 } ^{ 2 } } \right )=3x_{ 0 } ^{ 2 } $ Gọi $ M(x_{ o } ;y_{ o } ) $là tiếp điểm. Suy ra, $ x_{ o } =2,\,y_{ o } =8 $, $ f'(x_{ o } )=12 $. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đường cong $ y=f(x)=x ^ { 3 } $ tại điểm có hoành độ $ x_{ o } =2 $ là $ y=12(x-2)+8⇔y=12x-16 $. Suy ra $ a=12,\,b=-16 $. Vậy $ P=a-b=12-(-16)=28 $.