Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 35

Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều $ ABCD.MNPQ $ với $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ 5 m,MNPQ $ là hình vuông cạnh $ 2 m,AM=BN=CP=DQ=3 m $.
Vì $ DQ,NB $ cắt nhau nên $ D,Q,N,B $ đồng phẳng. Mà $ (ABCD)\parallel(MNPQ) $ nên $ NQ\parallel BD $
Gọi $ I $ là giao điểm của $ MP $ và $ NQ $, $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $. Khi đó $ IO\perp(MNPQ),IO\perp(ABCD) $.
Xét hình thang $ QNBD $, gọi $ H $ là hình chiếu của $ Q $ trên $ BD,K $ là hình chiếu của $ N $ trên $ BD $. Vì $ IO\perp BD $, $ QH\perp BD,NK\perp BD $ trong $ (QNBD) $ nên $ IO\parallel QH\parallel NK $.
Suy ra $ QH\perp(MNPQ),QH\perp(ABCD) $ nên $ QH $ bằng chiều cao của khối chóp cụt đều.
Ngoài ra, ta có $ QH=NK=IO $ và $ QD=NB $. Suy ra $ \Delta QHD=\Delta NKB $ nên ta có $ HD=BK $
Bên cạnh đó, $ QNKH $ là hình chữ nhật nên $ QN=HK $. Từ đó ta có:
$ HD=\frac { BD-HK } { 2 }=\frac { \sqrt { AD ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }-\sqrt { MN ^ { 2 } +MQ ^ { 2 } } } { 2 } $$ =\frac { \sqrt { 5 ^ { 2 } +5 ^ { 2 } }-\sqrt { 2 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { 3\sqrt { 2 } } { 2 }( m) $
Xét tam giác $ QHD $ vuông tại $ H $ có: $ QH=\sqrt { QD ^ { 2 } -HD ^ { 2 } }=\sqrt { 3 ^ { 2 } -\left ( { \frac { 3\sqrt { 2 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 3\sqrt { 2 } } { 2 }( m). $
Diện tích của hai đáy là: $ S_{ ABCD } =AB ^ { 2 } =5 ^ { 2 } =25\left ( {  m ^ { 2 } } \right ) $,$ S_{ MNPQ } =MN ^ { 2 } =2 ^ { 2 } =4\left ( {  m ^ { 2 } } \right ){ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là:
$ V=\frac { 1 } { 3 }QH\left ( { S_{ ABCD } +\sqrt { S_{ ABCD } \cdot S_{ MNPQ } }+S_{ MNPQ } } \right ) $$ =\frac { 1 } { 3 }\cdot \frac { 3\sqrt { 2 } } { 2 }(25+\sqrt { 25\cdot 4 }+4)=\frac { 39\sqrt { 2 } } { 2 }\left ( {  m ^ { 3 } } \right ) $.
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là:$ 1500000\cdot \frac { 39\sqrt { 2 } } { 2 }\approx 41,365747 $ (triệu đồng), làm tròn đến hàng đơn vị là $ 41 $ triệu đồng.