Với hai số thực dương $x, y$ sao cho $xy \neq 1$, tồn tại $a, b$ thỏa mãn $x^a = y^b = xy$. Khi đó, giá trị của $\frac{a^2b^2 - a^2 - b^2}{a + b}$ là bao nhiêu?

Lời giải Ta có: $$ x^a = y^b = xy \Rightarrow \begin{cases} x^{a-1} = y \\ y^{b-1} = x \end{cases} $$ Suy ra: $$ \Big(y^{b-1}\Big)^{a-1} = y \Leftrightarrow y^{ab - a - b + 1} = y^1 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 = 1 \Leftrightarrow ab = a + b $$ Xét biểu thức: $$ \frac{a^2b^2 - a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(ab)^2 - \Big(a^2 + b^2\Big)}{a + b} = \frac{(ab)^2 - \Big[(a + b)^2 - 2ab\Big]}{a + b} $$ Vì $ab = a + b$ nên: $$ \frac{(ab)^2 - \Big[(ab)^2 - 2ab\Big]}{ab} = \frac{2ab}{ab} = 2 $$