Với số tự nhiên $ n $, gọi $ A_{ n } $ và $ B_{ n } $ là các điểm mà đường thẳng $ x=n $ cắt đồ thị của hai hàm số $ y=\sqrt[] { x } $ và $ y=2\sqrt[] { x } $ tương ứng. Gọi $ S(n) $ là diện tích tam giác $ OA_{ n } B_{ n } $, trong đó $ O $ là gốc tọa độ. Biết $ S\left ( { 2 ^ { 10 } } \right )=2 ^ { k } $. Giá trị của $ k $ là bao nhiêu?

Ta có: $ A_{ n } \left ( { n;\sqrt[] { n } } \right ),B\left ( { n;2\sqrt[] { n } } \right ) $ khi đó: $ A_{ n } B_{ n } =\sqrt[] { n } $, suy ra $ S\left ( { n } \right )=\frac { 1 } { 2 }.\sqrt[] { n }.n=\frac { 1 } { 2 }n ^ { \frac { 3 } { 2 } } $ Từ đó: $ S\left ( { 2 ^ { 10 } } \right )=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { 2 ^ { 10 } } \right ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } =\frac { 1 } { 2 }.2 ^ { 15 } =2 ^ { 14 } $ Vậy $ k=14 $