(THPT Diễn Châu 5 - Nghệ An 2025) Cho tập $ E=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}. $ Ba học sinh Đức, Hoàng và Kiên mỗi bạn độc lập với hai người kia viết ngẫu nhiên ra một tập con của $ E $ có đúng $ 2 $ phần tử. Tính xác suất để ba tập hợp được viết ra có đúng một phần tử thuộc cả ba tập đó được kết quả $ \frac { a } { b } $ (Trong đó $ a,b $ là các số tự nhiên và $ \frac { a } { b } $ là tối giản). Tính giá trị của $ T=a+b $.

Giả sử ba tập hợp được viết ra bởi Đức, Hoàng và Kiên là $ A,B,C. $ Đặt $ S=A∩B∩C. $ Gọi biến cố cần tính xác suất là $ X. $ Mỗi bạn có $ C_{ 6 } ^{ 2 }=15 $ sự lựa chọn. Suy ra $ n\left ( { Ω } \right )=15×15×15. $ Ta có $ \left | { S } \right |=1, $ nên số cách chọn $ 1 $ phần tử cho $ S $ là $ C_{ 6 } ^{ 1 }. $ Xét hai trường hợp sau: TH1. Các tập $ \left ( { A∩B } \right )\S,\,\left ( { B∩C } \right )\S $ và $ \left ( { C∩A } \right )\S $ đều rỗng. Số cách chọn phần tử thứ hai cho $ A,B,C $ là $ C_{ 5 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 1 }.C_{ 3 } ^{ 1 }. $ TH2. Trong ba tập $ \left ( { A∩B } \right )\S,\,\left ( { B∩C } \right )\S $ và $ \left ( { C∩A } \right )\S $ có ít nhất một tập khác rỗng. Để ý rằng, vì mỗi tập $ A,B,C $ chỉ có đúng $ 2 $ phần tử mà $ \left | { S } \right |=1 $ nên trong ba tập $ \left ( { A∩B } \right )\S,\,\left ( { B∩C } \right )\S $ và $ \left ( { C∩A } \right )\S $ nếu có một tập khác rỗng (có 1 phần tử) thì hai tập còn lại phải rỗng. Do đó số cách chọn phần tử thứ hai cho $ A,B,C $ là $ 3\left ( { C_{ 5 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 1 } } \right ). $ Suy ra xác suất cần tính là $ P(X)=\frac { C_{ 6 } ^{ 1 }\left ( { C_{ 5 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 1 }.C_{ 3 } ^{ 1 }+3\left ( { C_{ 5 } ^{ 1 }.C_{ 4 } ^{ 1 } } \right ) } \right ) } { 15×15×15 }=\frac { 16 } { 75 }. $ Vậy $ a=16 $, $ b=75 $. $ T=a+b=16+75=91 $.