(THPT Lê Xoay - Vĩnh Phúc 2025) Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tài thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng là $ P=\frac { a } { b }, $ $ (a,b\in ℕ ^ { * } ; $ $ a,b $ nguyên tố cùng nhau). Tính $ a ^ { 2 } +b? $

Hai người cần chơi tối đa 9 ván cờ. Do đã chơi được 6 ván và người thứ nhất đã thắng 4 ván nên người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc khi trong ba ván còn lại thắng 1 ván. Gọi $ A_{ i } $ là biến cố: Người thứ nhất thắng ván thứ $ i $ trong ba ván còn lại, $ i=1,2,3. $ Các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,A_{ 3 } $ độc lập và $ P(A_{ i } )=P( \bar A_{ i } )=\frac { 1 } { 2 },\,\,i=1,2,3. $ Gọi $ A $ là biến cố: Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc Khi đó $ A=A_{ 1 } ∪ \bar A_{ 1 } A_{ 2 } ∪ \bar A_{ 1 } \bar A_{ 2 } A_{ 3 } $ Áp dụng công thức cộng và công thức nhân xác suất, ta có $ P(A)=P(A_{ 1 } )+P( \bar A_{ 1 } A_{ 2 } )+P( \bar A_{ 1 } \bar A_{ 2 } A_{ 3 } ) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=P(A_{ 1 } )+P( \bar A_{ 1 } )P(A_{ 2 } )+P( \bar A_{ 1 } )P( \bar A_{ 2 } )P(A_{ 3 } ) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 2 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 2 ^ { 3 } }=\frac { 7 } { 8 }⋅ $ Vậy $ a=7,b=8⇒a ^ { 2 } +b=57. $