(Sở Hà Tĩnh 2025) Trong đề kiểm tra 15 phút môn Toán có 20 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Bạn An giải chắc chắn đúng 10 câu, 10 câu còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án. Biết rằng mỗi câu trả lời đúng được $ 0,5 $ điểm, trả lời sai không bị trừ điểm. Xác suất để An đạt được 8 điểm là $ p. $ Khi đó, $ 100p $ bằng

Bạn An được đúng 8 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu còn lại bạn trả lời đúng 6 câu. Với mỗi câu trả lời ngẫu nhiên ta gọi $ A $ là biến cố: Bạn An trả lời đúng Khi đó, $ P(A)=0,25 $ và $ P( \bar A)=0,75 $ Gọi $ B $ là biến cố: “Bạn An trả lời đúng 6 trong 10 câu” Biến cố $ B $là hợp của $ C_{ 10 } ^{ 6 } $ biến cố và mỗi biến cố này lại là giao của $ 10 $ biến cố (gồm $ 6 $ biến cố $ A $ và $ 4 $ biến cố $ \bar A $), mỗi biến cố này có xác suất xảy ra là $ (0,25) ^ { 6 } .(0,75) ^ { 4 } $ Từ đó suy ra $ P(B)=C_{ 10 } ^{ 6 }.(0,25) ^ { 6 } .(0,75) ^ { 4 } \simeq 0,0162 $ Vậy $ 100p=1,62 $.