Một sân thi đấu thể thao có phần trồng cỏ có dạng hình elip với độ dài trục lớn là $ 140{ \rm{ } }m, $ độ dài trục bé $ 100{ \rm{ } }m. $ Phần sân thi đấu là một hình chữ nhật có các đỉnh nằm trên đường elip và các cạnh song song với các trục của elip (như hình vẽ). Diện tích lớn nhất của phần sân thi đấu bằng bao nhiêu $ m ^ { 2 } ? $

Phương trình elip là $ \frac { x ^ { 2 } } { 70 ^ { 2 } }+\frac { y ^ { 2 } } { 50 ^ { 2 } }=1. $ Suy ra $ y ^ { 2 } =50 ^ { 2 } -\frac { 50 ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 70 ^ { 2 } }. $ Điểm $ B\left ( { x;\sqrt[] { 50 ^ { 2 } -\frac { 50 ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 70 ^ { 2 } } } } \right ) $ (xem hình vẽ). Diện tích hình chữ nhật $ ABCD $ là $ S=f\left ( { x } \right )=2x.2\sqrt[] { 50 ^ { 2 } -\frac { 50 ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 70 ^ { 2 } } }=\frac { 20 } { 7 }x\sqrt[] { 70 ^ { 2 } -x ^ { 2 } }=\frac { 20 } { 7 }\sqrt[] { 70 ^ { 2 } x ^ { 2 } -x ^ { 4 } }. $ Ta có $ 70 ^ { 2 } x ^ { 2 } -x ^ { 4 } =-\left ( { x ^ { 4 } -2.\frac { 70 ^ { 2 } } { 2 }x ^ { 2 } +\frac { 70 ^ { 4 } } { 4 } } \right )+\frac { 70 ^ { 4 } } { 4 }≤\frac { 70 ^ { 4 } } { 4 } $. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $ x ^ { 2 } =\frac { 70 ^ { 2 } } { 2 }⇔x=35\sqrt[] { 2 }. $ Vậy diện tích lớn nhất của phần sân thi đấu bằng: $ S_{ \max } =\frac { 20 } { 7 }\sqrt[] { 70 ^ { 2 } .\left ( { 35\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 35\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 4 } }=7000 $$ m ^ { 2 } . $