Để xây dựng đài phun nước hình Elip (hình vẽ bên dưới) người kỹ sư phải tạo thiết kế và tính toán trên máy tính, với mục đích tạo độ chính xác và tính thẩm mỹ cao cho công trình khi phân vùng đặt cột phun nước chính, kỹ sư tạo ra vùng giao nhau (phần giao chứa tứ giác $ OCFD $) giữa parabol $ (P) $ có phương trình $ y ^ { 2 } =2px\,(p>0) $và elip đã xây dựng trước đó có phương trình $ \frac { x ^ { 2 } } { 625 }+\frac { x ^ { 2 } } { 225 }=1 $. Biết diện tích tứ giác $ OCFD=250\,m ^ { 2 } $. Hãy tìm phương trình parabol $ (P) $ mà kỹ sư đã dùng thiết kế.

Từ phương trình elip $ \frac { x ^ { 2 } } { 625 }+\frac { y ^ { 2 } } { 225 }=1⇒\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } =625 \\ b ^ { 2 } =225 \end{array} \right.⇒c ^ { 2 } =400⇒c=20 $ Diện tích tứ giác tứ giác $ OCFD=OF.CB=250⇒CB=\frac { 250 } { OF }=\frac { 250 } { 25 }=10m\,\,(OF=a=25) $ Trường hợp 1: Nếu HS lập luận: từ hình vẽ ta có $ A $ và $ B $ là hai tiêu điểm của elip $ (E) $nên $ ⇒OB=c=20 $ và $ CB=10⇒C(20;10) $. Thay $ C(20;10) $vào elip không thỏa mãn, suy ra $ C(20;10)∉ $ $ (E) $ do đó $ C(20;10) $không thuộc giao điểm của $ (P) $ và $ (E) $. Vậy không tìm được phương trình của parabol $ (P) $ thỏa mãn đề bài. Trường hợp 2: Nếu HS lập luận: từ $ CB=10m\,⇒y_{ C } =10 $, thay vào $ (E)⇒x_{ C } =\frac { 25\sqrt[] { 5 } } { 3 }⇒ $ tọa độ giao điểm $ C $ của $ (P) $ và $ \,(E) $ là $ C\left ( { \frac { 25\sqrt[] { 5 } } { 3 };\,10 } \right ) $. Vì parabol $ (P) y ^ { 2 } =2px\,(p>0) $qua giao điểm $ C\left ( { \frac { 25\sqrt[] { 5 } } { 3 };\,10 } \right ) $ nên ta có: $ 10 ^ { 2 } =2p.\frac { 25\sqrt[] { 5 } } { 3 }⇒p=\frac { 6\sqrt[] { 5 } } { 5 }⇒2p=\frac { 12\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. Vậy phương trình parabol là $ (P):y ^ { 2 } =\frac { 12\sqrt[] { 5 } } { 5 }x $.