(Chuyên Lê Khiết - Quảng Ngãi 2025) Cho tập hợp $A=\{1;2;3;…;100\}$. Gọi $S$ là tập tất cả các tập con của tập hợp $A$ mà mỗi tập con này có ba phần tử và có tổng 3 phần tử bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập $S$. Khi đó xác suất để chọn ra phần tử của tập $S$ có ba số lập thành một cấp số nhân với công bội $q$ là số nguyên dương là $\frac{m}{n}$ với $m,n$ là các số nguyên dương và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính $m+n$.

Lời giải 1. Tính số phần tử không gian mẫu: Ta tính số bộ $(x, y, z)$ nguyên dương thỏa mãn $x < y < z$ và $x+y+z=91$. Kết quả tính toán số các bộ $(x, y, z)$ thỏa mãn là: $$ n(\Omega) = n(S) = 660 $$ 2. Tính số phần tử thuận lợi: Gọi $X$ là biến cố chọn ra tập con có ba số lập thành một cấp số nhân với công bội $q \in \mathbb{Z}^{+}$. Tập hợp có dạng ${a, aq, aq^{2}}$ với $a, q \in \mathbb{Z}^{+}$. Vì tổng các phần tử bằng 91 nên: $$ a(1 + q + q^{2}) = 91 $$ Vì $91 = 7 \cdot 13$, các ước nguyên dương của 91 là ${1, 7, 13, 91}$. Do $q \geq 1$ nên $q^{2} + q + 1 \geq 3$. Ta xét các trường hợp: - Trường hợp 1: $q^{2} + q + 1 = 7 \Rightarrow q = 2$. Khi đó $a = 13$, bộ số là ${13, 26, 52}$. - Trường hợp 2: $q^{2} + q + 1 = 13 \Rightarrow q = 3$. Khi đó $a = 7$, bộ số là ${7, 21, 63}$. - Trường hợp 3: $q^{2} + q + 1 = 91 \Rightarrow q^{2} + q - 90 = 0$, không có nghiệm nguyên dương. Như vậy có $n(X) = 2$. Xác suất cần tìm: $$ P(X) = \frac{2}{660} = \frac{1}{330} $$ Vậy $m=1, n=330 \Rightarrow m+n = 331$.