Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$ và các góc $\widehat{BAD}$, $\widehat{DAA'}$, $\widehat{A'AB}$ đều bằng $60^\circ$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AA', CD$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải a) Ta có $B'D' \parallel BD$ nên $\Big( AC, B'D' \Big) = \Big( AC, BD \Big) = 90^\circ \Rightarrow AC \perp B'D'$. b) Ta có $D'C' \parallel DC$ nên $\Big( AD, D'C' \Big) = \Big( AD, DC \Big) = 180^\circ - \widehat{ADC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. c) Ta có $CD' \parallel BA'$ nên $\Big( CD', A'O \Big) = \Big( BA', A'O \Big) = \widehat{BA'O}$. Xét tam giác $ABD$ có $AB = AD = a$ và $\widehat{BAD} = 60^\circ$ suy ra tam giác $ABD$ đều. Tương tự ta cũng có các tam giác $AA'D$ và $AA'B$ là các tam giác đều. Khi đó $BD = BA' = DA' = a$ hay tam giác $BDA'$ đều. Suy ra $\widehat{BA'O} = 30^\circ$. Vậy $\sin\Big( CD', A'O \Big) = \frac{1}{2}$. d) Gọi $P$ là trung điểm $DC'$. Ta có $B'C \parallel A'D$. Suy ra: $$ \cos\Big( MN, B'C \Big) = \cos\Big( A'P, A'D \Big) = \Big| \cos\widehat{DA'P} \Big| $$ Do $\widehat{BAD} = \widehat{DAA'} = \widehat{A'AB} = 60^\circ$ và các cạnh hình hộp bằng $a$. Do đó $A'D = a, C'D = C'A' = a\sqrt{3}, DP = \frac{1}{2}DC' = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Xét tam giác $A'C'D$ với $A'P$ là đường trung tuyến, nên ta có: $$ A'P^{2} = \frac{2\Big( A'D^{2} + C'A'^{2} \Big) - C'D^{2}}{4} \Rightarrow A'P = \frac{\sqrt{5}}{2}a $$ Áp dụng định lý cosin cho tam giác $A'DP$, ta có: $$ \cos\widehat{DA'P} = \frac{A'D^{2} + A'P^{2} - DP^{2}}{2 \cdot A'D \cdot A'P} = \frac{3\sqrt{5}}{10} $$ Như vậy $\cos\Big( MN, B'C \Big) = \cos\Big( A'P, A'D \Big) = \Big| \cos\widehat{DA'P} \Big| = \frac{3\sqrt{5}}{10}$.