Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right )=2+\frac { 1 } { x } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Gọi $ Δ $ là tiếp tuyến của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ tại điểm có tung độ bằng $ 3 $. Đường thẳng $ Δ $ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng?

Gọi $ M $ là điểm có tung độ bằng $ 3 $ thuộc đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Khi đó, hoành độ điểm $ M $ bằng $ 1 $. Ta có $ f'\left ( { 1 } \right )=\lim\limits_{ x→1 } \frac { f\left ( { x } \right )-f\left ( { 1 } \right ) } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { 2+\frac { 1 } { x }-3 } { x-1 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { -1 } { x }=-1 $. Đường thẳng $ Δ $ có phương trình: $ y-3=-1\left ( { x-1 } \right )⇔y=-x+4 $. Đường thẳng $ Δ $ cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại $ A\left ( { 4;0 } \right ) $ và $ B\left ( { 0;4 } \right ) $. Khi đó, diện tích tam giác $ OAB $là $ S=\frac { 1 } { 2 }OA.OB=\frac { 1 } { 2 }.4.4=8 $.