Cho hàm số $ y=\frac { x+2 } { x-1 }. $Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng $ y=–3x–2 $có phương trình $ d:y=ax+b $ $ \left ( { a∈Z,b∈N } \right ) $. Tính giá trị biểu thức $ P=a ^ { 2 } -b ^ { 2 } $ ?

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng $ y=–3x–2 $nên phương trình tiếp tuyến có dạng$ y=–3x+m $,với $ m≠-2 $. Gọi $ M\left ( { x_{ 0 } \,;\,y_{ 0 } } \right ) $là tọa độ tiếp điểm. Khi đó $ y'\left ( { x_{ 0 } } \right )=\frac { -3 } { \left ( { x_{ 0 } -1 } \right ) ^ { 2 } }=-3⇔\left ( { x_{ 0 } -1 } \right ) ^ { 2 } =1⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ 0 } =0 \\ x_{ 0 } =2 \\ \end{array} \right. $. Với $ x_{ 0 } =0⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} y_{ 0 } =\frac { 0+2 } { 0-1 }=-2 \\ m=y_{ 0 } +3x_{ 0 } =-2,\left ( { { \rm{ L } } } \right ) \\ \end{array} \end{array} \right. $, trường hợp này không thỏa mã vì tiếp tuyến tại $ x_{ 0 } =0 $ trùng đường thẳng $ y=–3x–2 $. Với $ x_{ 0 } =2⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} y_{ 0 } =\frac { 2+2 } { 2-1 }=4 \\ m=y_{ 0 } +3x_{ 0 } =10,\left ( { { \rm{ TM } } } \right ) \\ \end{array} \end{array} \right. $, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng $ y=-3x+10⇒\left \{ \begin{array}{l} a=-3 \\ b=10 \end{array} \right. $. Vậy $ P=\left ( { -3 } \right ) ^ { 2 } -10 ^ { 2 } =-91 $.