Cho hàm số $ \left ( { C } \right ):y=-x ^ { 2 } +x-1 $ và điểm $ A\left ( { 1;3 } \right ) $. Đường thẳng $ \left ( { d } \right ):y=ax+b $ (với hệ số góc dương) qua $ A $ và tiếp xúc với đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ) $. Khi đó $ a+b $ bằng bao nhiêu?

Gọi tiếp điểm $ M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right ) $. Ta có $ \left ( { C } \right ):y=-x ^ { 2 } +x-1 ⇒f'\left ( { x } \right )=-2x+1 $ Khi đó $ y_{ 0 } =-x_{ 0 } ^ { 2 } +x_{ 0 } -1 $ và$ f'\left ( { x_{ 0 } } \right )=-2x_{ 0 } +1 $. Vì đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ tiếp xúc với đồ thị hàm số $ \left ( { C } \right ) $ tại $ M $ nên $ \left ( { d } \right ) $ có dạng: $ y-y_{ 0 } =f'\left ( { x_{ 0 } } \right )\left ( { x-x_{ 0 } } \right ) $ Mà $ \left ( { d } \right ) $ qua $ A\left ( { 1;3 } \right ) $ nên $ 3-y_{ 0 } =f'\left ( { x_{ 0 } } \right )\left ( { 1-x_{ 0 } } \right )⇔3-\left ( { -x_{ 0 } ^ { 2 } +x_{ 0 } -1 } \right )=\left ( { -2x_{ 0 } +1 } \right )\left ( { 1-x_{ 0 } } \right ) $ $ ⇔x_{ 0 } ^{ 2 }-2x_{ 0 } -3=0⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ 0 } =-1⇒y_{ 0 } =-3,f'\left ( { -1 } \right )=3\left ( { n } \right ) \\ x_{ 0 } =3⇒y_{ 0 } =-7,f'\left ( { 3 } \right )=-5\left ( { l } \right ) \end{array} \right. $ Vì $ \left ( { d } \right ) $ có hệ số góc dương nên nhận $ x_{ 0 } =-1 $, khi đó $ \left ( { d } \right ):y-\left ( { -3 } \right )=3\left ( { x-\left ( { -1 } \right ) } \right )⇔y=3x $, suy ra $ a=3,b=0 $. Vậy $ a+b=3 $.