Một cái lều có dạng hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, biết $AB = 10\,m$, $AC = 10\sqrt{3}\,m$ và góc giữa hai mặt phẳng $(ACB')$ và $(ABC)$ bằng $60°$.

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Ta có: $$ \begin{cases} AA' \perp AC \\ AB \perp AC \end{cases} \Rightarrow AC \perp (ABB'A') $$ b) Ta có: $AC \perp (ABB'A')$, mà $AC \subset (ACB')$ nên $(ACB') \perp (ABB'A')$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(ACB')$ và $(ABB'A')$ bằng $90°$. c) Ta có: $$ \begin{cases} AC \perp CC' \\ BC \perp CC' \end{cases} \Rightarrow \widehat{ACB} \text{ là một góc phẳng của góc nhị diện } [A, CC', B] $$ Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có: $$ \tan \widehat{ACB} = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \widehat{ACB} = 30° $$ Vậy số đo của góc nhị diện $[A, CC', B]$ bằng $30°$. d) Ta có: $$ \begin{cases} AC = (ACB') \cap (ABC) \\ AB \perp AC, AB' \perp AC \\ AB \subset (ABC), AB' \subset (ACB') \end{cases} \Rightarrow ((ACB'), (ABC)) = (AB', AB) = \widehat{BAB'} = 60° $$ Tam giác $ABB'$ vuông tại $B$ có: $BB' = AB \cdot \tan 60° = 10\sqrt{3}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = 20$. Tổng diện tích các mặt của cái lều là $10 \cdot 10\sqrt{3} + 20 \cdot 10\sqrt{3} + 10\sqrt{3} \cdot 10\sqrt{3} + 10 \cdot 10\sqrt{3} = 100(4\sqrt{3} + 3) \approx 992,82\,(m^{2})$.