Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a $, góc $ \widehat { ABC }=60° $. $ SA $ vuông góc với mặt đáy và $ SA=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Gọi số đo góc phẳng nhị diện $ \left[ B,SC,D \right] $ là $ α $. Giá trị cosα bằng bao nhiêu?

Gọi $ O=AC∩BD $. Trong $ \left ( { SAC } \right ) $, kẻ $ OM⊥SC $. Ta có : $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BD⊥SA \\ BD⊥AC \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ ⇒BD⊥\left ( { SAC } \right )⇒BD⊥SC $. Mà $ OM⊥SC $ nên $ SC⊥\left ( { BMD } \right ) $. Do đó $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BM⊥SC \\ DM⊥SC \\ \end{array} \end{array} \right.⇒ \widehat { BMD } $ là góc phẳng nhị diện $ \left[ B,SC,D \right] $ Hình thoi $ ABCD $ cạnh $ a $, góc $ \widehat { ABC }=60° $ nên tam giác $ ABC $ đều cạnh $ a $. Do đó $ BO=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $, $ AC=a $, $ BD=2BO=a\sqrt[] { 3 } $. Ta có: $ ΔMCO\sim ΔACS\left ( { g.g } \right ) ⇒\frac { MO } { AS }=\frac { CO } { CS } ⇔MO=\frac { CO.AS } { CS } =\frac { \frac { a } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } { \sqrt[] { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +a ^ { 2 } } } =\frac { \frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } } { \frac { a\sqrt[] { 7 } } { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 14 } $. Xét tam giác $ BOM $ vuông tại $ O $, ta có: $ MB=\sqrt[] { MO ^ { 2 } +OB ^ { 2 } } =\sqrt[] { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 21 } } { 14 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 42 } } { 7 } $. Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ BMD $ ta có: $ cos \widehat { BMD }=\frac { BM ^ { 2 } +DM ^ { 2 } -BD ^ { 2 } } { 2.BM.DM } =\frac { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 42 } } { 7 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a\sqrt[] { 42 } } { 7 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } } { 2.\frac { a\sqrt[] { 42 } } { 7 }.\frac { a\sqrt[] { 42 } } { 7 } }=\frac { -\frac { 9 } { 7 }a ^ { 2 } } { \frac { 12 } { 7 }a ^ { 2 } }=-\frac { 3 } { 4 } $.