Gọi $ M\left ( { a;b } \right ) $ là điểm thuộc đồ thị hàm số $ y=\frac { 2x+1 } { x+2 } $ và có khoảng cách từ $ M $ đến đường thẳng $ d:y=3x+6 $ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $ T=6a ^ { 2 } +7b ^ { 2 } . $

Gọi $ M\left ( { a;\frac { 2a+1 } { a+2 } } \right ) $ là điểm thuộc đồ thị hàm số $ y=\frac { 2x+1 } { x+2 }\,\,\,\left ( { C } \right ) $, khoảng cách từ $ M $ đến $ d $ nhỏ nhất khi $ M $ là tiếp điểm của tiếp tuyến của $ \left ( { C } \right ) $ sao cho tiếp tuyến song song với đường thẳng $ d:y=3x+6 $ Ta có: $ y'\left ( { x } \right )=\frac { 3 } { \left ( { x+2 } \right ) ^ { 2 } } $. Do đó: $ y'\left ( { a } \right )=\frac { 3 } { \left ( { a+2 } \right ) ^ { 2 } }=3⇔\left[ \begin{array}{l} a=-1 \\ a=-3 \\ \end{array} \right. $ $ ⇒M_{ 1 } =\left ( { -1;-1 } \right ),\,\,M_{ 2 } =\left ( { -3;5 } \right )⇒\left[ \begin{array}{l} d\left ( { M_{ 1 } ;d } \right )=\frac { 4 } { \sqrt[] { 10 } } \\ d\left ( { M_{ 2 } ;d } \right )=\frac { 8 } { \sqrt[] { 10 } } \\ \end{array} \right. $ Vậy $ mind\left ( { M;d } \right )=\frac { 4 } { \sqrt[] { 10 } } $ khi $ M\left ( { -1;-1 } \right ) ⇒ a=b=-1 ⇒ T=6a ^ { 2 } +7b ^ { 2 } =13 $.