(THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Có hai hộp bi, hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đỏ, hộp II có 10 bi trắng và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp I chuyển sang hộp II. Sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng. Xác suất để 2 bi chuyển từ hộp I sang hộp II không cùng màu là $ \frac { a } { b } $ (là phân số tối giản). Tính $ a+b $.

Gọi $ H_{ 1 } $ là biến cố: Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II là bi trắng, $ H_{ 2 } $ là biến cố: Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II là bi đỏ, $ H_{ 3 } $ là biến cố: Hai viên bi chuyển từ hộp I sang hộp II có 1 bi trắng và 1 bi đỏ. Ba biến cố $ H_{ 1 } ,H_{ 2 } ,H_{ 3 } $ tạo thành một hệ đầy đủ Ta có: $ P(H_{ 1 } )=\frac { C_{ 5 } ^{ 2 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 5 } { 33 };\,\,P\left ( { H_{ 2 } } \right )=\frac { C_{ 7 } ^{ 2 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 7 } { 22 };\,\,P(H_{ 3 } )=\frac { C_{ 5 } ^{ 1 }C_{ 7 } ^{ 1 } } { C_{ 12 } ^{ 2 } }=\frac { 35 } { 66 } $. Gọi $ A $ là biến cố: Viên bi lấy ra từ hộp II là bi trắng Ta có: $ P(A\|H_{ 1 } )=\frac { 12 } { 27 };\,\,P(A\|H_{ 2 } )=\frac { 10 } { 27 };\,\,P(A\|H_{ 3 } )=\frac { 11 } { 27 } $ Cần tính xác suất $ P(H_{ 3 } \|A) $. Theo công thức xác suất Bayes $ P(H_{ 3 } \|A)=\frac { P(H_{ 3 } ).P(A\|H_{ 3 } ) } { P(H_{ 1 } ).P(A\|H_{ 1 } )+P(H_{ 2 } ).P(A\|H_{ 2 } )+P(H_{ 3 } ).P(A\|H_{ 3 } ) } $ Thay số: $ P(H_{ 3 } \|A)=\frac { 7 } { 13 } $ $ ⇒a+b=20. $