(THPT Nguyễn Khuyến - Lê Thánh Tông 2025) Một hộp chứa $ 10 $ viên bi xanh và $ 5 $ viên bi đỏ. Bạn An lấy ra ngẫu nhiên $ 1 $ viên bi từ hộp, xem màu, rồi bỏ ra ngoài. Nếu viên bi An lấy ra có màu xanh, bạn Bình sẽ lấy ra ngẫu nhiên $ 2 $ viên bi từ hộp; còn nếu viên bi An lấy ra có màu đỏ, bạn Bình sẽ lấy ra ngẫu nhiên $ 3 $ viên bi từ hộp. Tính xác suất để An lấy được viên bi màu xanh, biết rằng tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu.

Gọi $ A $ là biến cố: An lấy ra viên bi màu xanh Khi đó $ \left\{A, \bar A\right\} $ là một hệ đầy đủ các biến cố với $ P(A)=\frac { 2 } { 3 };\,\,P( \bar A)=\frac { 1 } { 3 } $ Gọi $ B $ là biến cố: Tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu Ta có $ P(B\|A)= $Xác suất 2 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ, do đó $ P(B\|A)=\frac { C_{ 14 } ^{ 2 }-C_{ 9 } ^{ 2 } } { C_{ 14 } ^{ 2 } }=\frac { 55 } { 91 } $ Tương tự $ P(B\| \bar A)= $Xác suất 3 viên bi Bình lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh, do đó $ P(B\| \bar A)=\frac { C_{ 14 } ^{ 3 }-C_{ 4 } ^{ 3 } } { C_{ 14 } ^{ 3 } }=\frac { 90 } { 91 } $ Áp dụng công thức xác suất Bayes, ta có $ P\left ( { A\|B } \right )=\frac { P(A).P(B\|A) } { P(A).P(B\|A)+P( \bar A).P(B\| \bar A) }=\frac { \frac { 2 } { 3 }⋅\frac { 55 } { 91 } } { \frac { 2 } { 3 }⋅\frac { 55 } { 91 }+\frac { 1 } { 3 }⋅\frac { 90 } { 91 } }=\frac { 11 } { 20 }=0,55 $.