(Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Một nhà máy có hai phân xưởng $ I $ và $ II $ tương ứng làm ra $ 40\% $ và $ 60\% $ sản phẩm của nhà máy. Biết rằng tỷ lệ phế phẩm của hai phân xưởng $ I $ và $ II $ tương ứng là $ 1\% $ và $ 2\% $. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó thuộc phân xưởng $ I $.

Gọi $ A $ là biến cố “sản phẩm lấy ra là phế phẩm”. Gọi $ B $ là biến cố “sản phẩm lấy ra thuộc phân xưởng $ I $”. Theo dữ kiện bài toán, xác suất để sản phẩm lấy ra thuộc phân xưởng $ I $ biết rằng sản phẩm đó la phế phẩm, ta cần tính $ P\left ( { B\setminus A } \right ) $. Theo công thức Bayes: $ P\left ( { B\setminus A } \right )=\frac { P\left ( { B } \right ).P\left ( { A\setminus B } \right ) } { P\left ( { A } \right ) } $. Ta có: $ P\left ( { B } \right )=40\%=0,4 $. $ P\left ( { A\setminus B } \right )=1\%=0,01 $. . Vậy $ P\left ( { B\setminus A } \right )=\frac { P\left ( { B } \right ).P\left ( { A\setminus B } \right ) } { P\left ( { A } \right ) }=\frac { 0,4.0,01 } { 0,016 }=\frac { 1 } { 4 }=0,25 $.