(Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Cho hai số thực dương $ x,y $ thỏa mãn $ 2 ^ { y } +y=2x+\log_{ 2 } \left ( { x+2 ^ { y-1 } } \right ) $. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T=\frac { x } { y } $ bằng bao nhiêu, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm?

Có $ 2 ^ { y } +y=2x+\log_{ 2 } \left ( { x+2 ^ { y-1 } } \right ) $ $ ⇔2 ^ { y } +y=2x+\log_{ 2 } \left ( { 2x+2 ^ { y } } \right )-1\,\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $. Đặt $ t=\log_{ 2 } \left ( { 2x+2 ^ { y } } \right )⇒2x+2 ^ { y } =2 ^ { t } ⇒2x=2 ^ { t } -2 ^ { y } $. $ \left ( { 1 } \right ) $ trở thành: $ 2 ^ { y } +y=2 ^ { t } -2 ^ { y } +t-1⇔2 ^ { y+1 } +y+1=2 ^ { t } +t\,\,\,\,\,\left ( { 2 } \right ) $. Xét hàm số $ f\left ( { u } \right )=2 ^ { u } +u,∀x>0⇒f'\left ( { u } \right )=2 ^ { u } \ln2+1>0,∀u>0 $ Suy ra hàm số $ f\left ( { x } \right )=2 ^ { x } +x $ luôn đồng biến trên $ \left ( { 0;+\infty } \right ) $. Ta có $ \left ( { 2 } \right )⇔f\left ( { y+1 } \right )=f\left ( { t } \right ) ⇔y+1=t $ $ ⇒y+1=\log_{ 2 } \left ( { 2x+2 ^ { y } } \right )⇔2 ^ { y+1 } =2x+2 ^ { y } ⇔x=2 ^ { y-1 } $. Khi đó $ P=\frac { x } { y }=\frac { 2 ^ { y-1 } } { y }⇒P'=\frac { 2 ^ { y-1 } yln2-2 ^ { y-1 } } { y ^ { 2 } } $. Suy ra $ P'=0⇔yln2-1=0⇔y=\frac { 1 } { \ln2 } $. Bảng biến thiên cho thấy $ P $ đạt giá trị nhỏ nhất tại $ y=\frac { 1 } { \ln2 } $. Khi đó $ x=2 ^ { y-1 } $, suy ra $ T=\frac { x } { y }=\frac { 2 ^ { \frac { 1 } { \ln2 }-1 } } { \frac { 1 } { \ln2 } }≈0,94 $.