Trắc nghiệm · Câu 100
(HSG Vũng Tàu 2025) Cho các số thực $ x,y $ thoả mãn $ 5+16.4 ^ { x ^ { 2 } -2y } =\left ( { 5+4 ^ { 2x ^ { 2 } -4y } } \right ).7 ^ { 2y-x ^ { 2 } +2 } $. Gọi $ M $ và $ m $ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=\frac { 10{ \rm{ x } }+6y+26 } { 2{ \rm{ x } }+2y+5 } $. Tổng giá trị $ M+m $ bằng
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ \frac { 19 } { 2 } $
Lời giải
Chọn A
$ 5+16.4 ^ { x ^ { 2 } -2y } =\left ( { 5+4 ^ { 2x ^ { 2 } -4y } } \right ).7 ^ { 2y-x ^ { 2 } +2 } $
Đặt $ t=x ^ { 2 } -2y $
Phương trình có dạng Đặt $ 5+4 ^ { t+2 } =\left ( { 5+4 ^ { 2t } } \right ).7 ^ { 2-t } ⇔\frac { \left ( { 5+4 ^ { t+2 } } \right ) } { 7 ^ { t+2 } }=\frac { \left ( { 5+4 ^ { 2t } } \right ) } { 7 ^ { 2t } } $
Xét hàm số $ g(u)=\frac { 5+4 ^ { u } } { 7 ^ { u } }=5.\left ( { \frac { 1 } { 7 } } \right ) ^ { u } +\left ( { \frac { 4 } { 7 } } \right ) ^ { u } $ suy ra $ g\left ( { u } \right ) $là hàm nghịch biến trên $ R $ nên $ g(2t)=g(t+2)⇒2t=t+2⇒t=2⇒x ^ { 2 } -2y=2⇒2y=x ^ { 2 } -2 $
$ P=\frac { 10x+3\left ( { x ^ { 2 } -2 } \right )+26 } { 2x+x ^ { 2 } -2+5 }=\frac { 3x ^ { 2 } +10x+20 } { x ^ { 2 } +2x+3 }⇔\left ( { P-3 } \right )x ^ { 2 } +\left ( { 2P-10 } \right )x+3P-20=0 $ có nghiệm với mọi $ x $ thuộc tập số thực khi và chỉ khi $ Δ'=-2P ^ { 2 } +19P-35\geq 0⇔\frac { 5 } { 2 }\leq P\leq 7 $, suy ra $ M=7,\,m=\frac { 5 } { 2 }⇒M+m=\frac { 19 } { 2 } $