(HSG Hải Phòng 2025) Gọi $x_{1}, x_{2} \ (x_{1} < x_{2})$ là hai nghiệm của phương trình $\log_{7} \left( \frac{4x^{2} - 4x + 1}{2x} \right) + 4x^{2} + 1 = 6x$. Biết $x_{1} + 2x_{2} = \frac{1}{4}(a + \sqrt{b})$, trong đó $a, b$ là các số nguyên dương. Tính tổng $a + b$.

Lời giải Điều kiện xác định: $\frac{4x^{2} - 4x + 1}{2x} > 0 \Leftrightarrow x > 0$. Phương trình đã cho: $$ \log_{7} \left( 4x^{2} - 4x + 1 \right) + (4x^{2} - 4x + 1) = \log_{7} (2x) + 2x \quad (*) $$ Xét hàm số $f(t) = \log_{7} t + t$ với $t > 0$, ta có $f'(t) = \frac{1}{t \ln 7} + 1 > 0, \forall t > 0$. Do đó hàm số $f(t)$ đồng biến trên $(0; +\infty)$. $$ (*) \Leftrightarrow 4x^{2} - 4x + 1 = 2x \Leftrightarrow 4x^{2} - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4} \text{ (thỏa mãn)} $$ Suy ra $x_{1} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}; x_{2} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$. Ta có: $$ x_{1} + 2x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{4} + 2 \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{4} = \frac{3 - \sqrt{5} + 6 + 2\sqrt{5}}{4} = \frac{9 + \sqrt{5}}{4} $$ Vậy $a = 9, b = 5 \Rightarrow a + b = 14$.