Cho các số thực $ a $, $ b $ thay đổi, thỏa mãn $ a>\frac { 1 } { 3 } $, $ b>1 $. Khi biểu thức $ P=\log_{ 3a } b+\log_{ b } \left ( { a ^ { 4 } -9a ^ { 2 } +81 } \right ) $ đạt giá trị nhỏ nhất, tính tổng $ a+2b $ (Làm tròn đến hàng phần chục).

Do $ a ^ { 4 } -9a ^ { 2 } +81\geq 9a ^ { 2 } ⇔\left ( { a ^ { 2 } -9 } \right ) ^ { 2 } \geq 0 $ đúng $ ∀a>\frac { 1 } { 3 }; $ Dấu bằng xảy ra khi $ a=3 $. Vì $ a>\frac { 1 } { 3 },b>1, $ suy ra $ P\geq \log_{ 3a } b+\log_{ b } \left ( { 3a } \right ) ^ { 2 } =\log_{ 3a } b+2\log_{ b } 3a\geq 2\sqrt[] { 2 } $. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ \left \{ \begin{array}{l} a=3 \\ \log_{ 3a } b=2\log_{ b } 3a \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=9 ^ { \sqrt[] { 2 } } \end{array} \right. $. Vậy, khi $ P $ đạt giá trị nhỏ nhất thì $ a+2b=3+2.9 ^ { \sqrt[] { 2 } } =47,7. $