Cho 2 số thực $ x $, $ y $ thay đổi thỏa mãn $ x+y+1=2\left ( { \sqrt[] { x-2 }+\sqrt[] { y+3 } } \right ) $. Giá trị lớn nhất của biểu thức $ S=3 ^ { x+y-4 } +\left ( { x+y+1 } \right )2 ^ { 7-x-y } -3\left ( { x ^ { 2 } +y ^ { 2 } } \right ) $ là $ \frac { a } { b } $ với $ a $, $ b $ là các số nguyên dương và $ \frac { a } { b } $ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $ P=a+2b $.

Từ giả thiết ta có $ \left ( { x+y+1 } \right ) ^ { 2 } =4\left ( { \sqrt[] { x-2 }+\sqrt[] { y+3 } } \right ) ^ { 2 } =4\left ( { x+y+1+2\sqrt[] { x-2 }\sqrt[] { y+3 } } \right ) $. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 2 số thực không âm ta có: $ 2\sqrt[] { x-2 }\sqrt[] { y+3 }\leq x+y+1⇒\left ( { x+y+1 } \right ) ^ { 2 } \leq 8\left ( { x+y+1 } \right )⇒-1\leq x+y\leq 7 $ Mặt khác ta lại có: $ \left ( { x+y+1 } \right ) ^ { 2 } =4\left ( { x+y+1+2\sqrt[] { x-2 }\sqrt[] { y+3 } } \right )\geq 4\left ( { x+y+1 } \right )⇒\left[ \begin{array}{l} x+y\geq 3 \\ x+y\leq -1 \end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l} 3\leq x+y\leq 7 \\ x+y=-1 \end{array} \right. $. Nếu $ x+y=-1⇒\left \{ \begin{array}{l} \sqrt[] { x-2 }\sqrt[] { y+3 }=0 \\ x+y=-1 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x=2 \\ y=-3 \end{array} \right.⇒S=-\frac { 9476 } { 243 } $. Nếu $ 3\leq x+y\leq 7 $. Đặt $ t=x+y\left ( { t\in \left[ 3;7 \right] } \right ) $. Xét hàm số $ f\left ( { t } \right )=3 ^ { t-4 } +\left ( { t+1 } \right ).2 ^ { 7-t } \left ( { t\in \left[ 3;7 \right] } \right ) $ $ ⇒f'\left ( { t } \right )=3 ^ { t-4 } \ln3+2 ^ { 7-t } -\left ( { t+1 } \right )2 ^ { 7-t } \ln2 \\ ⇒f''\left ( { t } \right )=3 ^ { t-4 } \ln ^ { 2 } 3-2 ^ { 7-t } \ln2-\ln2\left ( { 2 ^ { 7-t } -\left ( { t+1 } \right )2 ^ { 7-t } \ln2 } \right ) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=3 ^ { t-4 } \ln ^ { 2 } 3+\left ( { \left ( { t+1 } \right )\ln ^ { 2 } 2-2\ln2 } \right )2 ^ { 7-t } >0∀t\in \left[ 3;7 \right] $ Vì $ f'\left ( { 3 } \right ) < 0,f'\left ( { 7 } \right )>0 $ nên tồn tại số $ a\in \left ( { 3;7 } \right ) $ sao cho $ f'\left ( { a } \right )=0 $. Suy ra $ f\left ( { t } \right ) $ nghịch biến trên $ \left ( { 3;a } \right ) $và đồng biến trên $ \left ( { a;7 } \right ) $. Mặt khác: $ f\left ( { 3 } \right )=\frac { 193 } { 3 };f\left ( { 7 } \right )=35⇒f\left ( { t } \right )\leq f\left ( { 3 } \right )=\frac { 193 } { 3 }∀t\in \left[ 3;7 \right] $ Ta sẽ đi chứng minh $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } \geq 5 $ với $ x+y\geq 3,x\geq 2 $. Nhận thấy rằng khi: *$ x\in \left[ 2;3 \right]⇒y\geq 3-x\geq 0⇒y ^ { 2 } \geq x ^ { 2 } -6x+9⇒x ^ { 2 } +y ^ { 2 } \geq 2x ^ { 2 } -6x+9=2\left ( { x-2 } \right )\left ( { x-1 } \right )+5\geq 5 $. * $ x>3⇒x ^ { 2 } +y ^ { 2 } >9 $. Vậy: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } \geq 5 $$ ⇒S\leq \frac { 148 } { 3 }=\frac { a } { b }⇒\left \{ \begin{array}{l} a=148 \\ b=3 \end{array} \right.⇒a+2b=154. $