Để phương trình $ \log_{ 5 } ^{ 2 }x-\log_{ 5 } x ^ { 2 } -2m+3=0 $ (với tham số thực $ m $) có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $ \left[ 1;125 \right] $ thì $ m\in \left ( { a;\,b } \right ] $. Khi đó giá trị $ a+b $ bằng bao nhiêu?

Điều kiện: $ x>0 $ $ \log_{ 5 } ^{ 2 }x-\log_{ 5 } x ^ { 2 } -2m+3=0⇔\log_{ 5 } ^{ 2 }x-2\log_{ 5 } x-2m+3=0{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right )$ Đặt: $ \log_{ 5 } x=t $. Pt $ \left ( { 1 } \right ) $ trở thành: $ t ^ { 2 } -2t=2m-3{ \rm{ } }\left ( { 2 } \right ) $. Phương trình $ \left ( { 1 } \right ) $ có $ 2 $ nghiệm phân biệt $ x\in \left[ 1;125 \right] ⇔ $pt $ \left ( { 2 } \right ) $ có $ 2 $ nghiệm phân biệt $ t\in \left[ 0;3 \right]⇔ $đồ thị hàm số $ y=t ^ { 2 } -2t $ và $ y=2m-3 $ có $ 2 $ giao điểm phân biệt với $ t\in \left[ 0;3 \right] $. Xét hàm số$ y=t ^ { 2 } -2t $ trên $ t\in \left[ 0;3 \right] $ Có $ y'=2t-2 $; $ y'=0⇔t=1\in \left[ 0;3 \right] $. BBT Nhìn BBT ta thấy YCBT $ ⇔2m-3\in \left ( { -1;0 } \right ]⇔m\in \left ( { 1;\frac { 3 } { 2 } } \right ] $. Vậy $ \left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=1,5 \end{array} \right.⇒a+b=2,5 $.