(HSG Vũng Tàu 2025) Có bao nhiêu số nguyên $y \in [-2024; 2024]$ sao cho với mỗi $y$, tồn tại số thực $x$ thỏa mãn điều kiện $15\sqrt[3]{5y + 15 \cdot 2^{x}} + 5y = 8^{x}$?

Lời giải Phương trình đã cho: $$ 15\sqrt[3]{5y + 15 \cdot 2^{x}} + 5y = 8^{x} \Leftrightarrow 15\sqrt[3]{5y + 15 \cdot 2^{x}} + 5y + 15 \cdot 2^{x} = 15 \cdot 2^{x} + (2^{x})^{3} $$ $$ \Leftrightarrow f\left( \sqrt[3]{5y + 15 \cdot 2^{x}} \right) = f(2^{x}) \quad (*) $$ Với $f(t) = 15t + t^{3}$. Ta có $f'(t) = 15 + 3t^{2} > 0$ với $\forall t \in \mathbb{R}$, nên hàm số $f(t)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó: $$ (*) \Leftrightarrow \sqrt[3]{5y + 15 \cdot 2^{x}} = 2^{x} \Leftrightarrow 5y = 2^{3x} - 15 \cdot 2^{x} $$ Đặt $g(x) = 2^{3x} - 15 \cdot 2^{x}$. Ta có $g'(x) = 3 \cdot 2^{3x} \ln 2 - 15 \cdot 2^{x} \ln 2 = 2^{x} \ln 2 (3 \cdot 2^{2x} - 15)$. $g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \log_{2} 5 = x_{0}$. Giá trị cực tiểu của $g(x)$ là $g(x_{0}) = 5^{3/2} - 15 \cdot 5^{1/2} = 5\sqrt{5} - 15\sqrt{5} = -10\sqrt{5} \approx -22,36$. Phương trình có nghiệm khi $5y \geq -10\sqrt{5} \Leftrightarrow y \geq -2\sqrt{5} \approx -4,47$. Số nguyên $y \in [-2024; 2024]$ và $y \geq -2\sqrt{5} \approx -4,47$ nên $y \in \{-4, -3, \ldots, 2024\}$, suy ra có $2024 - (-4) + 1 = 2029$ giá trị nguyên $y$ thỏa mãn.