Cho $a, b 1$ và biểu thức $A = \log_{2}\Big(\sqrt[5]{a}\Big); B = \log_{b^{4}}\Big(1024\Big); C = \log_{a^{3}}\Big(\sqrt{b}\Big)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Question

Cho $a, b > 1$ và biểu thức $A = \log_{2}\Big(\sqrt[5]{a}\Big); B = \log_{b^{4}}\Big(1024\Big); C = \log_{a^{3}}\Big(\sqrt{b}\Big)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Beedemy · Accepted Answer

a. Rút gọn biểu thức $A$ ta được $A = 5\log_{2} a$ Sai. b. Rút gọn biểu thức $B$ ta được $B = 2,5\log_{b} 2$. Đúng. c. Biết $ABC = \frac{m}{n}$, trong đó $m, n$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{m}{n}$ tối giản. Khi đó $m + n = 13$. Đúng. d. Khi $AB = 1$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \log_{12} a + \log_{b} 2024$ là $\sqrt{12\log_{12} 2024}$ Sai. Lời giải: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai Lời giải a) Sai. $A = \log_{2}\Big(\sqrt[5]{a}\Big) = \frac{1}{5}\log_{2} a$. b) Đúng. $B = \log_{b^{4}}\Big(1024\Big) = \log_{b^{4}}\Big(2^{10}\Big) = \frac{5}{2}\log_{b} 2 = 2,5\log_{b} 2$. c) Đúng. $C = \log_{a^{3}}\Big(\sqrt{b}\Big) = \frac{1}{6}\log_{a} b \Rightarrow ABC = \frac{1}{12} \Rightarrow \begin{cases} m = 1 \ n = 12 \end{cases} \Rightarrow m + n = 13$. d) Sai. Ta có $AB = \frac{1}{2}\log_{b} a = 1 \Rightarrow a = b^{2}$. $$ P = 2\log_{12} b + \log_{b} 2024 = \frac{2\log_{2} b}{\log_{2} 12} + \frac{\log_{2} 2024}{\log_{2} b} \geq \sqrt{8\log_{12} 2024}, \quad \forall b > 1 $$ Dấu bằng xảy ra khi: $$ \frac{2\log_{2} b}{\log_{2} 12} = \frac{\log_{2} 2024}{\log_{2} b} \Leftrightarrow \log_{2} b = \sqrt{\frac{\log_{2} 12 \cdot \log_{2} 2024}{2}} \Leftrightarrow b = 2^{\sqrt{\frac{\log_{2} 12 \cdot \log_{2} 2024}{2}}} $$ Vậy $P_{\min} = \sqrt{8\log_{12} 2024}$.

Cho $a, b > 1$ và biểu thức $A = \log_{2}\Big(\sqrt[5]{a}\Big); B = \log_{b^{4}}\Big(1024\Big); C = \log_{a^{3}}\Big(\sqrt{b}\Big)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cùng dạng: Công thức đổi cơ số lôgarit