Cho $a = \log_3 2$ và $b = \log_3 5$. Biết $\log 120 = \frac{m \cdot a + b + 1}{n \cdot a + p \cdot b}$, với $m, n, p$ là các số nguyên. Tính tổng $m + n + p$.

Lời giải Ta có: $$ \log 120 = \log 12 + \log 10 = \frac{\log_3 12}{\log_3 10} + 1 = \frac{\log_3\Big(2^2 \cdot 3\Big)}{\log_3\Big(2 \cdot 5\Big)} + 1 $$ $$ = \frac{2\log_3 2 + 1}{\log_3 2 + \log_3 5} + 1 = \frac{2a + 1}{a + b} + 1 = \frac{3a + b + 1}{a + b} $$ Do đó: $m = 3, n = 1, p = 1$, suy ra $m + n + p = 5$.