Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là $ 0,1\% $. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm thì có $ 95\% $ phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là $ 8\% $ (tức là trong số những người không bị bệnh có $ 8\% $ số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). Biết khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là $ a\,\% $. Hỏi $ a $ gần số nào nhất trong các số sau?

Question

Beedemy · Accepted Answer

C. $ 1,17 $ Lời giải: Gọi $ A $ là biến cố “Người được chọn ra không mắc bệnh”, khi đó $ P\left ( { A } \right )=1-0,1\%=0,999 $, suy ra $ P\left ( { \bar{A} } \right )=0,1\%=0,001 $. $ B $ là biến cố “Người được chọn ra có phản ứng dương tính”, khi đó $ P\left ( { B\|A } \right )=8\%=0,08 $ và $ P\left ( { B\|\bar{A} } \right )=95\%=0,95 $. Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là $ P\left ( { \bar{A}\|B } \right ) $. Theo công thức Bayes, ta có $ P\left ( { \bar{A}\|B } \right )=\frac { P\left ( { \bar{A} } \right ).P\left ( { B\|\bar{A} } \right ) } { P\left ( { A } \right ).P\left ( { B\|A } \right )+P\left ( { \bar{A} } \right ).P\left ( { B\|\bar{A} } \right ) }=\frac { 0,001.0,95 } { 0,999.0,08+0,001.0,95 }≈0,0117=1,17\% $. Vậy khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là $ 1,17\% $.

Cùng dạng: Ứng dụng xác suất có điều kiện vào bài toán thực tế (chọn lọc, kiểm tra)