Bác An có một mảnh đất có hình tứ giác như hình vẽ, khi đo đạc thì được số đo các cạnh lần lượt là $20\text{ m}$, $7\text{ m}$, $13\text{ m}$, $4\text{ m}$. Biết rằng trước đây, mảnh đất có hình tam giác vuông, nhưng do ở gần sông nên đã bị sạt lở mất một phần đất. Hỏi diện tích phần đất bác An hiện có là bao nhiêu mét vuông?

Giả sử hình tam giác vuông ban đầu là $\triangle SCD$ vuông tại $S$. Phần đất còn lại của bác An là hình tứ giác $ABCD$ như hình vẽ, trong đó phần bị sạt lở mất là tam giác vuông $\triangle SAB$ vuông tại $S$. Các kích thước đề bài cho tương ứng với: $AD = 4\text{ m}$, $DC = 20\text{ m}$, $CB = 7\text{ m}$, $BA = 13\text{ m}$. Đặt $SA = x\text{ (m)}$ với $x > 0$. Xét tam giác $SAB$ vuông tại $S$, theo định lý Pythagore ta có: $SB = \sqrt{AB^2 - SA^2} = \sqrt{13^2 - x^2} = \sqrt{169 - x^2}\text{ (m)}$. Ta có độ dài các cạnh của tam giác vuông lớn $\triangle SCD$ là: - $SD = SA + AD = x + 4$ - $SC = SB + BC = \sqrt{169 - x^2} + 7$ Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác $SCD$ vuông tại $S$: $SD^2 + SC^2 = CD^2 \Leftrightarrow (x + 4)^2 + \left(\sqrt{169 - x^2} + 7\right)^2 = 20^2$ $\Leftrightarrow x^2 + 8x + 16 + 169 - x^2 + 14\sqrt{169 - x^2} + 49 = 400$ $\Leftrightarrow 8x + 234 + 14\sqrt{169 - x^2} = 400$ $\Leftrightarrow 14\sqrt{169 - x^2} = 166 - 8x$ Chia hai vế cho 2: $7\sqrt{169 - x^2} = 83 - 4x$ (với $x \le 20{,}75$). Bình phương hai vế: $49(169 - x^2) = (83 - 4x)^2 \Leftrightarrow 8281 - 49x^2 = 6889 - 664x + 16x^2 \Leftrightarrow 65x^2 - 664x - 1392 = 0$. Giải phương trình ta được $x = 12$ (nhận, vì $0 < x < 13$) hoặc $x = -\frac{232}{130}$ (loại vì $x > 0$). Với $SA = 12$, ta có $SB = \sqrt{169 - 12^2} = \sqrt{25} = 5$ (m). Suy ra $SD = SA + AD = 12 + 4 = 16$ (m) và $SC = SB + BC = 5 + 7 = 12$ (m). Diện tích tam giác $SCD$ là $S_{SCD} = \frac{1}{2}.SD.SC = \frac{1}{2}.16.12 = 96$ (m$^2$). Diện tích tam giác $SAB$ là $S_{SAB} = \frac{1}{2}.SA.SB = \frac{1}{2}.12.5 = 30$ (m$^2$). Vậy diện tích phần đất bác An hiện có là $S_{ABCD} = S_{SCD} - S_{SAB} = 96 - 30 = 66$ (m$^2$).