Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình $\left(\sin x - \sin(2x)\right)\left(\sin x + \sin(2x)\right) = \sin^{2}(3x)$ trên đường tròn lượng giác là?

Lời giải Biến đổi phương trình đã cho bằng hằng đẳng thức: $$ \left(\sin x - \sin(2x)\right)\left(\sin x + \sin(2x)\right) = \sin^{2}(3x) $$ $$ \Leftrightarrow \sin^{2} x - \sin^{2}(2x) = \sin^{2}(3x) $$ $$ \Leftrightarrow \sin^{2} x - \sin^{2}(3x) - \sin^{2}(2x) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \big(\sin x - \sin(3x)\big)\big(\sin x + \sin(3x)\big) - \sin^{2}(2x) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \Big(-2\cos(2x)\sin x\Big) \cdot \Big(2\sin(2x)\cos x\Big) - \sin^{2}(2x) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow -2\sin(2x)\cos(2x) \cdot \big(2\sin x\cos x\big) - \sin^{2}(2x) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow -\sin(4x)\sin(2x) - \sin^{2}(2x) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow -\sin(2x)\Big(\sin(4x) + \sin(2x)\Big) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow -\sin(2x) \cdot 2\sin(3x)\cos x = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin(2x) = 0 \\ \sin(3x) = 0 \\ \cos x = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = k\pi \\ 3x = k\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin(2x) = 0 \\ \sin(3x) = 0 \\ \cos x = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{k\pi}{2} \\ x = \frac{k\pi}{3} \\ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác: - Họ $x = \frac{k\pi}{2}$ cho 4 điểm phân biệt: $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$. - Họ $x = \frac{k\pi}{3}$ cho 6 điểm phân biệt: $0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$. - Họ $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ cho 2 điểm: $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ (đã có trong họ thứ nhất). Hợp các điểm trên lại, ta được 8 điểm phân biệt trên đường tròn lượng giác: $$ 0, \ \frac{\pi}{3}, \ \frac{\pi}{2}, \ \frac{2\pi}{3}, \ \pi, \ \frac{4\pi}{3}, \ \frac{3\pi}{2}, \ \frac{5\pi}{3} $$ Vậy số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là 8.