Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1\text{ m}$. Biết $\overrightarrow{AB} = (x; y; z)$. Tính $x + 2y - z$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải Vì $\overrightarrow{OA}$ cùng hướng với $\vec{k}$ và $OA = 10$ nên $\overrightarrow{OA} = 10\vec{k}$. Xét $\Delta OBH$ vuông tại $H$, có: $$ BH = OB \cdot \sin 30^\circ = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7,5\text{ m}. $$ $$ OH = OB \cdot \cos 30^\circ = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2}\text{ m}. $$ Vì $\overrightarrow{OH}$ cùng hướng với $\vec{j}$ và $OK = 7,5$ nên $\overrightarrow{OH} = \frac{15\sqrt{3}}{2}\vec{j}$. Ta có: $$ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OH} + \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA} = 7,5\vec{i} + \frac{15\sqrt{3}}{2}\vec{j} - 10\vec{k}. $$ Do đó $\overrightarrow{AB} = \left(7,5; \frac{15\sqrt{3}}{2}; -10\right)$. Vậy $x + 2y - z = 7,5 + 2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{2} + 10 \approx 43,5$.