(THPT Nguyễn Khuyến - Lê Thánh Tông 2025) Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật $ ABCD.EFGH $ với $ AB=6 $ (dm), $ AD=8 $ (dm) và cạnh bên bằng $ 10 $ (dm). Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm $ G $ đến chạm mặt đáy của hồ, rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm $ M $ là trung điểm của $ AF $ được mô hình hóa như hình vẽ sau: Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách $ BA $ và $ BC $ những đoạn bằng $ a $ và $ b. $ Khi đó tổng $ D=3a+6b $ bao nhiêu ?

Dựng hệ trục $ Oxyz $ như hình vẽ Khi đó tọa độ các điểm là $ B\left ( { 0;\,0;\,0 } \right ) $, $ C\left ( { 8;\,0;\,0 } \right ) $, $ D\left ( { 8;\,6;\,0 } \right ) $, $ A\left ( { 0;\,6;\,0 } \right ) $, $ G\left ( { 8;\,0;\,10 } \right ) $, $ F\left ( { 0;\,0;\,10 } \right ) $. Ta có: $ M $ là trung điểm của $ AF ⇒M\left ( { 0;\,3;\,5 } \right ) $. Con cá bơi từ điểm $ G $ đến chạm mặt đáy hồ tại điểm $ I\left ( { x;\,y;\,0 } \right )\in \left ( { Oxy } \right ) $ với $ 0\leq x\leq 8 $, $ 0\leq y\leq 6 $. Gọi $ N $ là điểm đối xứng của điểm $ M $ qua $ \left ( { Oxy } \right ) $ $ ⇒N\left ( { 0;\,3;\,-5 } \right ) $. Quãng đường di chuyển của con cá là $ G-I-M $ Ta có: $ IM+IG=IN+IG\geq GN =\sqrt[] { \left ( { 0-8 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 3-0 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -5-10 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 298 } $. Để $ IM+IG $ nhỏ nhất thì ba điểm $ I $, $ G $, $ N $ thẳng hàng Suy ra $ \overset\rightarrow { IG } $, $ \overset\rightarrow { NG } $ cùng phương. $ \overset\rightarrow { IG }=\left ( { 8-x;\,-y;\,10 } \right ) $. $ \overset\rightarrow { NG }=\left ( { 8;\,-3;\,15 } \right ) $. Do đó $ \frac { 8-x } { 8 }=\frac { -y } { -3 }=\frac { 10 } { 15 } $. Suy ra $ x=\frac { 8 } { 3 } $, $ y=2 $$ ⇒I\left ( { \frac { 8 } { 3 };\,2;\,0 } \right ) $. Khi đó, $ a=d\left ( { I,BA } \right )=\frac { 8 } { 3 } $, $ b=d\left ( { I,BC } \right )=2 $. Vậy $ D=3a+6b=3⋅\frac { 8 } { 3 }+6⋅2=20 $.