(THPT Lê Thánh Tông - Nguyễn Khuyến 2025) Một túi chứa ba đồng xu công bằng (fair coin - tức đồng xu có đủ hai mặt sấp ngửa) và một đồng xu có hai mặt ngửa (double-headed coin). Một đồng xu được chọn ngẫu nhiên từ túi và được gieo để xem mặt hiện ra là ngửa hay sấp.

a) Sai. Gọi biến cố A: “Chọn được một đồng xu fair coin” Gọi biến cố B: “Gieo đồng xu xuất hiện mặt sấp” Xác suất để đồng xu fair coin được chọn và mặt sấp xuất hiện bằng $ P\left ( { AB } \right )=P\left ( { A } \right )⋅P\left ( { B\|A } \right )=\frac { 3 } { 4 }⋅\frac { 1 } { 2 }=\frac { 3 } { 8 } $. b) Đúng. Ta có $ P\left ( { B\|A } \right )=\frac { 1 } { 2 } $, $ P\left ( { B\|\bar{A} } \right )=1 $. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất xuất hiện mặt ngửa là: $ P\left ( { B } \right )=P\left ( { A } \right ).P\left ( { B\|A } \right )+P\left ( { \bar{A} } \right ).P\left ( { B\|\bar{A} } \right )=\frac { 3 } { 4 }.\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 4 }.1=\frac { 5 } { 8 } $. c) Sai. Nếu biết mặt ngửa đã xuất hiện, xác suất đồng xu có hai mặt ngửa đã được chọn chính là xác suất có điều kiện $ P\left ( { \bar{A}\|B } \right ) $, theo công thức Bayes ta có: $ P\left ( { \bar{A}\|B } \right )=\frac { P\left ( { \bar{A} } \right ).P\left ( { B\|\bar{A} } \right ) } { P\left ( { B } \right ) }=\frac { \frac { 1 } { 4 }.1 } { \frac { 5 } { 8 } }=\frac { 2 } { 5 }\neq \frac { 3 } { 5 } $. d) Đúng. Gọi biến cố E: “Lần tung đầu tiên xuất hiện mặt ngửa” và biến cố F: “Lần tung thứ hai xuất hiện mặt ngửa”. Ta có $ P\left ( { E } \right )=\frac { 3 } { 4 }.\frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { 4 }.1=\frac { 5 } { 8 } $. Ta tính $ P\left ( { E∩F } \right ). $ TH1: Chọn được đồng xu fair coin và mặt ngửa xuất hiện ở lần tung đầu tiên, xác suất lần tung thứ hai xuất hiện mặt ngửa là $ \frac { 1 } { 2 } $ nên xác suất cả hai lần tung xuất hiện mặt ngửa từ các đồng xu fair coin bằng $ \frac { 3 } { 4 }.\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 3 } { 16 } $. TH2: Chọn được đồng xu double-headed coin thì xác xuất cả hai lần tung xuất hiện mặt ngửa bằng $ \frac { 1 } { 4 }. $ Suy ra $ P\left ( { E∩F } \right )=\frac { 7 } { 16 }. $ Vậy $ P\left ( { F\|E } \right )=\frac { P\left ( { E∩F } \right ) } { P\left ( { E } \right ) }=\frac { 7 } { 10 }. $