Cho ba điểm $ A(2;0),B(0;-3),C(5;-3) $. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Lời giải a) Đúng. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -2;-3 } \right ),\overset\rightarrow { AC }=\left ( { 3;-3 } \right ) $. Suy ra $ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC } $ không cùng phương. Do đó $ A,B,C $ không thẳng hàng. Vậy luôn có một đường tròn đi qua ba điểm trên. b) Đúng. Gọi tâm đường tròn là $ I(a;b) $. Theo giả thiết $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AI ^ { 2 } =BI ^ { 2 } \\ AI ^ { 2 } =CI ^ { 2 } \\ \end{array} \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} (a-2) ^ { 2 } +b ^ { 2 } =a ^ { 2 } +(b+3) ^ { 2 } \\ (a-2) ^ { 2 } +b ^ { 2 } =(a-5) ^ { 2 } +(b+3) ^ { 2 } \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 4a+6b=-5 \\ 6a-6b=30 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=\frac { 5 } { 2 } \\ b=-\frac { 5 } { 2 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right. $. Vậy $ I\left ( { \frac { 5 } { 2 };-\frac { 5 } { 2 } } \right ) $. c) Đúng. Bán kính đường tròn là $ R=AI=\sqrt[] { \left ( { \frac { 5 } { 2 }-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -\frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 13 } { 2 } }⇒{ \rm{ } }2R=\sqrt[] { 26 } $. d) Sai. Đường tròn có phương trình $ \left ( { C } \right ):\left ( { x-\frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+\frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 13 } { 2 } $. Xét hệ $ \left \{ \begin{array}{l} \left ( { x-\frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+\frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 13 } { 2 } \\ x-y=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} \left ( { x-\frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { x+\frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 13 } { 2 } \\ y=x \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} 2x ^ { 2 } =-6 \\ y=x \end{array} \right. $, hệ vô nghiệm, do đó đường tròn và đường thẳng không giao nhau. Suy ra mệnh đề sai.