Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kì trong không gian. Với hệ trục tọa độ $ Oxyz $ thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $ A\left ( { -1;-3;-5 } \right ) $ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $ B\left ( { -1;1;-1 } \right ) $ và $ C\left ( { 1;-1;-1 } \right ) $ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $ \left ( { S } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =3 $. Người ta xác định được tọa độ điểm $ M\left ( { a;b;c } \right ) $ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $ MA+MB+MC $ nhỏ nhất. Tính giá trị $ a+b+c $ và làm tròn đến hàng phần chục.

Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ O\left ( { 0;0;0 } \right ) $, bán kính $ R=\sqrt[] { 3 } $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 0;4;4 } \right ) \\ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { 2;2;4 } \right ) \\ \end{array} \end{array} \right.⇒\left[ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC } \right]=\left ( { 8;8;-8 } \right )=8\left ( { 1;1;-1 } \right ) $. $ ⇒\left ( { ABC } \right ):x+y-z-1=0 $. Do $ d\left ( { O,\left ( { ABC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } } $ nên mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ cắt mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ theo giao tuyến là một đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ bán kính bằng $ r=\sqrt[] { R ^ { 2 } -d ^ { 2 } }=\frac { 2\sqrt[] { 6 } } { 3 } $. Chọn điểm $ D $ thuộc $ \left ( { C } \right ) $ sao cho $ ΔBCD $ đều, suy ra $ D\left ( { 1;1;1 } \right ) $. Xét điểm $ M $ thuộc cung nhỏ $ BC $, lấy $ E $ thuộc đoạn $ DM $ sao cho $ MC=ME\,\,\,\left ( { 1 } \right ) $. Mặt khác $ \widehat { CME }= \widehat { CBD }=60° $ (góc nội tiếp cùng chắn cung $ CD $). Vì vậy tam giác $ CME $ đều. Xét hai tam giác $ CMB $ và $ CED $ có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} CM=CE,CB=CD \\ \widehat { CBM }= \widehat { CDE } \\ \end{array} \end{array} \right. $. Do đó hai tam giác $ CMB $, $ CED $ bằng nhau, suy ra $ MB=ED\,\,\,\left ( { 2 } \right ) $. Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ suy ra $ MA+MB+MC=MA+ED+ME\geq AD=2\sqrt[] { 14 } $. Dấu đằng thức xảy ra khi $ M=AD∩\left ( { S } \right ) $ hay $ M=AD∩\left ( { C } \right ) $. Ta có: phương trình tham số của đường thẳng $ AD $ là $ AD:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+t \\ y=1+2t \\ z=1+3t \\ \end{array} \end{array} \right. $. Thay phương trình $ AD $ vào phương trình $ \left ( { S } \right ) $ thì $ \left ( { 1+t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1+2t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 1+3t } \right ) ^ { 2 } =3⇔\left[ \begin{array}{l} t=0 \\ t=-\frac { 6 } { 7 } \\ \end{array} \right. $. Với $ t=0 $ ta có điểm $ D\left ( { 1;1;1 } \right ) $. Với $ t=-\frac { 6 } { 7 } $ ta có điểm $ M\left ( { \frac { 1 } { 7 };-\frac { 5 } { 7 };-\frac { 11 } { 7 } } \right ) $; suy ra $ a+b+c=-\frac { 15 } { 7 }≈-2,1 $.