Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách trái đất $ 20000\,km $, ta coi trái đất là khối cầu có bán kính $ R=6 $(nghìn km). Với một hệ tọa độ $ Oxyz $ đã chọn, $ O $ là tâm trái đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ $ A\left ( { 26;0;0 } \right ),\,\,B\left ( { 0;26;0 } \right ). $ Xét điểm $ M\left ( { x;y;z } \right ) $ thuộc bề mặt trái đất. Tính giá trị nhỏ nhất của $ MA+MB $ theo đơn vị nghìn km (làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương trình mặt cầu trái đất tâm $ O $ bán kính $ R=6 $ là $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =36 $. Ta có tâm cầu $ O,A,B $ cùng nằm trên mặt phẳng kính $ \left ( { Oxy } \right ) $. Do đó $ MA+MB $ đạt giá trị nhỏ nhất thì $ M $ nằm trên đường tròn lớn thuộc mặt phẳng$ \left ( { Oxy } \right ) $. Ta đưa bài toán về xét trên mặt phẳng$ \left ( { Oxy } \right ) $. Gọi $ H $ và $ K $ lần lượt là hình chiếu của điểm $ M $ và $ O $ trên đường thẳng $ AB $, do tam giác $ OAB $ cân tại $ O $ nên $ K $ là trung điểm của $ AB $. Ta có: $ MA+MB=\sqrt[] { MH ^ { 2 } +HA ^ { 2 } }+\sqrt[] { MH ^ { 2 } +HB ^ { 2 } }\geq \sqrt[] { \left ( { MH+MH } \right ) ^ { 2 } +\left ( { HA+HB } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 4MH ^ { 2 } +AB ^ { 2 } } $ Lại có $ OM+MH\geq OH\geq OK $ suy ra $ MH\geq OK-OM=d\left ( { O;AB } \right )-R=\frac { AB } { 2 }-R=13\sqrt[] { 2 }-6 $ Do đó $ MA+MB\geq \sqrt[] { 4\left ( { 13\sqrt[] { 2 }-6 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 26\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }≈44 $ Dấu bằng xảy ra khi $ H $ trùng với trung điểm $ K $ của $ AB $ và $ M $thuộc đoạn $ OK. $