(Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa 2025) Một công ty xây dựng một hệ thống Giám sát môi trường tại khu công nghiệp. Hai cảm biến không dây được đặt tại hai vị trí $ A,\,B $ trong không gian 3 chiều để thu thập dữ liệu không khí. Để đảm bảo tín hiệu truyền giữa hai cảm biến ổn định, công ty thiết kế một bóng bảo vệ tín hiệu hình cầu di động nhưng luôn đi qua cả hai cảm biến $ A $ và $ B $. Bóng này cần tiếp xúc với mặt đất để đảm bảo tính ổn định. Giả sử trong không gian với hệ toạ độ $ Oxyz $, toạ độ các điểm là $ A\left ( { 3;5;-2 } \right ) $, $ B\left ( { -1;3;2 } \right ) $ và mặt đất được mô tả bằng mặt phẳng: $ (P):2x+y-2z+9=0. $ Trong quá trình mô phỏng, điểm tiếp xúc giữa bóng bảo vệ và mặt đất (gọi là $ C $) thay đổi. Kỹ sư cần xác định khoảng cách từ gốc tọa độ $ O(0,0,0) $ đến điểm tiếp xúc $ C $ để đánh giá mức độ ảnh hưởng từ vị trí đặt thiết bị. Gọi $ m_{ 1 } $ là giá trị lớn nhất, và $ m_{ 2 } $ là giá trị nhỏ nhất của độ dài $ OC. $ Tính giá trị $ m_{ 1 } ^ { 2 } +m_{ 2 } ^ { 2 } . $

$ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { AB }=\left ( { -4;-2;4 } \right )=-2\left ( { 2;1;-2 } \right ) \\ \overset\rightarrow { n_{ P } }=\left ( { 2;1;-2 } \right ) \end{array} \right. ⇒\overset\rightarrow { AB },\ \overset\rightarrow { n_{ P } } $ cùng phương nên $ \overset\rightarrow { AB }⊥\left ( { P } \right ) $, $ AB=6 $ $ d\left ( { A;\ \left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { 2.3+5-2.\left ( { -2 } \right )+9 } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } } }=8 $ và $ d\left ( { B;\ \left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { 2.\left ( { -1 } \right )+3-2.2+9 } \right | } { \sqrt[] { 2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +\left ( { -2 } \right ) ^ { 2 } } }=2 $ $ AB∩\left ( { P } \right )=M⇒M $ cố định Do $ \left ( { P } \right ) $ tiếp xúc với mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ tại $ C $ nên $ MC⊥IC $ tại $ C $ $ ⇒MA.MB=MC ^ { 2 } $, ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} MA=d\left ( { A;\ \left ( { P } \right ) } \right )=8 \\ MB=d\left ( { B;\left ( { P } \right ) } \right )=2 \end{array} \right.⇔MC ^ { 2 } =16⇔MC=4 $ $ ⇒C $ thuộc đường tròn tâm $ M $ bán kính $ r=MC=4 $ Ta có: $ AB:\left \{ \begin{array}{l} x=3+2t \\ y=5+t \\ z=-2-2t \end{array} \right. $, $ M=AB∩\left ( { P } \right )⇒M\left ( { -\frac { 7 } { 3 };\frac { 7 } { 3 };\frac { 10 } { 3 } } \right ) $ Gọi $ H $ là hình chiếu của $ O $ lên mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ $ ⇒d\left ( { O\left ( { P } \right ) } \right )=3 $, $ OH:\left \{ \begin{array}{l} x=2t \\ y=t \\ z=-2t \end{array} \right. $ $ H=OH∩\left ( { P } \right ) $$ ⇔H\left ( { -2;\ -1;\ 2 } \right ) $, $ HM=\sqrt[] { 13 } < 4 $ nên $ H $ nằm trong đường tròn tâm $ M $ bán kính $ r=MC=4 $. Suy ra $ OC=\sqrt[] { OH ^ { 2 } +HC ^ { 2 } }=\sqrt[] { 9+HC ^ { 2 } } $ $ ⇒OC $ đạt min hoặc max $ ⇔HC $ đạt min hoặc max $ \left \{ \begin{array}{l} HC_{ \min } =\left | { HM-r } \right |=4-\sqrt[] { 13 } \\ HC_{ \max } =HM+r=4+\sqrt[] { 13 } \end{array} \right. $$ ⇒\left \{ \begin{array}{l} OC_{ \min } =\sqrt[] { 9+\left ( { 4-\sqrt[] { 13 } ^ { 2 } } \right ) }=m_{ 2 } \\ OC_{ \max } =\sqrt[] { 9+\left ( { 4+\sqrt[] { 13 } } \right ) ^ { 2 } }=m_{ 1 } \end{array} \right. $ Vậy $ m_{ 1 } ^ { 2 } +m_{ 2 } ^ { 2 } =76 $