Trắc nghiệm · Câu 46
Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh $ a $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với mặt đáy $ \left ( { ABC } \right ) $. Khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ bằng $ \frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
$ \frac { a ^ { 3 } } { 4 } $
Lời giải
Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $, suy ra $ AM⊥BC $ và $ AM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Gọi $ K $ là hình chiếu của $ A $ trên $ SM $, suy ra $ AK⊥SM $ $ \left ( { 1 } \right ) $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AM⊥BC \\ BC⊥SA \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SAM } \right )⇒BC⊥AK. $ $ \left ( { 2 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $, suy ra $ AK⊥\left ( { SBC } \right ) $ nên $ d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )=AK=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 } $.
Diện tích tam giác $ ABC $ là $ S_{ ABC } =\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Trong tam giác $ SAM $, có $ SA=\frac { AK.AM } { \sqrt[] { AM ^ { 2 } -AK ^ { 2 } } }=a\sqrt[] { 3 } $. Vậy $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }.a\sqrt[] { 3 }=\frac { a ^ { 3 } } { 4 } $.