Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Lời giải Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}$. Vì $M$ là trung điểm $AD$, $N$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$ và $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$. A đúng vì hai vectơ bất kì luôn đồng phẳng. B đúng vì $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$, tức $\overrightarrow{MN}$ biểu diễn được qua $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$. C đúng vì $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$; nếu $\overrightarrow{MN}$ biểu diễn được qua $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ thì $\overrightarrow{AD}$ cũng nằm trong mặt phẳng $(AB,AC)$, mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là tứ diện. Vậy ba vectơ đó không đồng phẳng. D sai vì $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$, $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d})$. Giả sử $\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{AN}+y\overrightarrow{CM}$ thì đồng nhất hệ số của $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{d}$ cho $x=1$, $y=0$ và $-\frac{1}{2}=0$ (vô lí). Do đó $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{CM}$, $\overrightarrow{MN}$ không đồng phẳng. Chọn D.