Công ty X giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất 10000 sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất 4000 sản phẩm và có tỷ lệ phế phẩm là 6%, xí nghiệp II có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó chỉ phát hiện được 95% và hệ thống dự đoán đúng được 92%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Tính xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm (làm tròn kết quả đến hàng phầm trăm).

Số phế phẩm của xí nghiệp I là: $ 4000×6\%=240 $. Số phế phẩm của xí nghiệp II là: $ 6000×4\%=240 $. Số phế phẩm của của công ty X là: $ 240+240=480 $. Gọi các biến cố: $ A: $ “Sản phẩm của công ty được chọn là phế phẩm”; $ B: $ “Sản phẩm của công ty bị hệ thống báo là phế phẩm”. Ta có $ P\left ( { A } \right )=\frac { 480 } { 10000 }=0,048⇒P\left ( { \bar A } \right )=1-P\left ( { A } \right )=0,952 $. $ P\left ( { B\|A } \right )=95\%=0,95 $; $ P\left ( { \bar B\| \bar A } \right )=92\%=0,92⇒P\left ( { B\| \bar A } \right )=1-P\left ( { \bar B\| \bar A } \right )=0,08 $. ÁP dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: $ P\left ( { B } \right )=P\left ( { A } \right ).P\left ( { B\|A } \right )+P\left ( { \bar A } \right ).P\left ( { B\| \bar A } \right )=0,048×0,95+0,952×0,08=0,12176 $ Số sản phẩm của công ty bị báo là phế phẩm là $ 0,12176×10000=1217,6 $ Gọi các biến cố: $ C: $ “Sản phẩm được chọn của xí nghiệp I là phế phẩm”; $ D: $ “Sản phẩm được chọn của xí nghiệp I bị báo là phế phẩm”. Ta có $ P\left ( { C } \right )=6\%=0,06⇒P\left ( { \bar C } \right )=1-P\left ( { C } \right )=0,94 $. $ P\left ( { D\|C } \right )=95\%=0,95 $; $ P\left ( { \bar D\| \bar C } \right )=92\%=0,92⇒P\left ( { D\| \bar C } \right )=1-P\left ( { \bar D\| \bar C } \right )=0,08 $. ÁP dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: $ P\left ( { D } \right )=P\left ( { C } \right ).P\left ( { D\|C } \right )+P\left ( { \bar C } \right ).P\left ( { D\| \bar C } \right )=0,06×0,95+0,94×0,08=0,1322 $ Số sản phẩm của xí nghiệp I bị báo là phế phẩm là $ 0,1322×4000=528,8 $. Xác suất để sản phẩm được chọn là của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm là $ P=\frac { 528,8 } { 1217,6 }≈0,43 $.