Cho $ \cot\alpha =\sqrt[] { 5 } $. Biết giá trị của biểu thức $ C=\sin ^ { 2 } \alpha -\sin\alpha \cos\alpha +\cos ^ { 2 } \alpha $ bằng $ a-\frac { \sqrt[] { 5 } } { b } $ với $ a,b\in \mathbb{N} $. Khi đó $ \frac { a+b } { 2 } $ bằng bao nhiêu

Ta có $ C=\sin ^ { 2 } \alpha -\sin\alpha \cos\alpha +\cos ^ { 2 } \alpha =\frac { \sin ^ { 2 } \alpha -\sin\alpha \cos\alpha +\cos ^ { 2 } \alpha } { \sin ^ { 2 } \alpha +\cos ^ { 2 } \alpha } $. $ =\frac { 1 } { 1+\cot ^ { 2 } \alpha }\left ( { 1-\cot\alpha +\cot ^ { 2 } \alpha } \right )=\frac { 1 } { 1+\left ( { \sqrt[] { 5 } } \right ) ^ { 2 } }\left ( { 1-\sqrt[] { 5 }+5 } \right )=\frac { 6-\sqrt[] { 5 } } { 6 }=1-\frac { \sqrt[] { 5 } } { 6 } ⇒a=1;b=6⇒\frac { a+b } { 2 }=3,5 $