Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng chuyền so với mép trên của lưới khi bóng di chuyển được $x$ mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số $h(x) = -0,2x^2 + x - 1$. Biết rằng với $x \in (a; b)$ thì bóng nằm cao hơn mép trên của lưới (khoảng $(a; b)$ có độ dài $b - a$ lớn nhất). Khi đó giá trị của biểu thức $T = a + b$ bằng bao nhiêu?

Quả bóng nằm cao hơn mép trên của lưới khi và chỉ khi $h(x) > 0$, tức là: $-0,2x^2 + x - 1 > 0$. Xét tam thức bậc hai $h(x) = -0,2x^2 + x - 1$ có biệt thức $\Delta = 1^2 - 4 \cdot (-0,2) \cdot (-1) = 0,2 > 0$. Do đó, phương trình $h(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ và $x_2 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$. Vì hệ số $a = -0,2 < 0$ nên tam thức $h(x)$ nhận giá trị dương khi $x$ nằm trong khoảng hai nghiệm: $\Leftrightarrow x \in \left(\frac{5 - \sqrt{5}}{2}; \frac{5 + \sqrt{5}}{2}\right)$. Theo giả thiết, khoảng $(a; b)$ có độ dài $b - a$ lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán chính là tập nghiệm của bất phương trình trên. Từ đó suy ra: $a = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ và $b = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$. Khi đó, giá trị của biểu thức $T$ là: $T = a + b = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} + \frac{5 + \sqrt{5}}{2} = 5$.