Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 27 cm và chiều rộng 13 cm được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước ($ 27+x $) cm và ($ 13-x $) cm. Với $ x∈\left ( { a;b } \right ) $ thì diện tích của khung sau khi uốn tăng lên. Tìm giá trị lớn nhất của $ b-a $.

Diện tích khung dây thép hình chữ nhật ban đầu là: $ 27.13=351\left ( {  { \rm{ cm } } ^ { 2 } } \right ) $. Diện tích khung hình chữ nhật mới là: $ (27+x)(13-x)=351-14x-x ^ { 2 } \left ( {  { \rm{ cm } } ^ { 2 } } \right ) $. Xét hiệu $ f(x)=351-351+14x+x ^ { 2 } =x ^ { 2 } +14x $. Ta có $ f(x)=x ^ { 2 } +14x $ là tam thức bậc hai có $ Δ=14 ^ { 2 } -4.1.0=196>0 $. Do đó $ f(x) $ có hai nghiệm phân biệt $ x_{ 1 } =0,x_{ 2 } =-14 $ và $ a=1>0 $. Suy ra $ f(x) $ âm khi $ x $ thuộc khoảng $ (-14;0). $ Hay với $ x∈\left ( { -14;0 } \right ) $ thì diện tích của khung dây tăng lên. Vậy $ b-a=14 $.