Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: $50$ khách đầu tiên có giá là $300.000$ đồng/người. Nếu có nhiều hơn $50$ người đăng ký thì cứ có thêm $1$ người, giá vé sẽ giảm $5.000$ đồng/người cho toàn bộ hành khách. Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là $15.080.000$ đồng.

Gọi $x$ là số lượng khách tăng thêm từ người thứ 51 trở lên của nhóm ($x \in \mathbb{N}$). Khi đó, tổng số khách của nhóm du lịch là $50 + x$ (người). Do có nhiều hơn 50 người đăng ký nên cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm $5.000$ đồng/người cho toàn bộ hành khách. Giá vé cho mỗi hành khách lúc này là: $300.000 - 5.000x$ (đồng). Tổng số tiền vé công ty thu được (doanh thu) từ nhóm khách là: $A = (300.000 - 5.000x)(50 + x) = -5.000x^2 + 50.000x + 15.000.000$ (đồng). Vì chi phí thực sự cho chuyến đi là $15.080.000$ đồng nên lợi nhuận mà công ty thu được là: $f(x) = A - 15.080.000 = -5.000x^2 + 50.000x - 80.000$ (đồng). Công ty du lịch không bị lỗ khi và chỉ khi lợi nhuận không âm, tức là $f(x) \ge 0$: $\Leftrightarrow -5.000x^2 + 50.000x - 80.000 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 - 10x + 16 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 8$. Do đó, số lượng khách tăng thêm tối đa để công ty không bị lỗ là $x = 8$ người. Khi đó, số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là: $50 + 8 = 58$ (người).