Một trận đấu bóng đá được tổ chức ở một sân vận động có sức chứa $15000$ người. Với giá vé $14$ đô la thì trung bình các trận đấu gần đây có $9500$ khán giả. Theo một khảo sát thị trường, cứ giảm $1$ đô la mỗi vé thì trung bình số khán giả tăng lên $1000$ người. Khi giá vé thuộc đoạn $[a; b]$ với $b - a$ lớn nhất thì đơn vị tổ chức không bị lỗ? Biết rằng chi phí tổ chức trận đấu là $135000$ đô la. Tính $2a + b$.

Gọi $x$ là giá vé để đơn vị tổ chức không bị lỗ ($x > 0$). Số khán giả ứng với giá vé $x$ đô la là: $9500 + 1000(14 - x) = 23500 - 1000x$ (người). Vì sức chứa tối đa của sân vận động là $15000$ người nên: $23500 - 1000x \le 15000 \Leftrightarrow x \ge 8,5$. Để đơn vị tổ chức không bị lỗ thì lợi nhuận thu được phải không âm: $x(23500 - 1000x) - 135000 \ge 0 \Leftrightarrow -1000x^2 + 23500x - 135000 \ge 0 \Leftrightarrow 10 \le x \le 13,5$. Kết hợp các điều kiện trên, giá vé thỏa mãn là: $10 \le x \le 13,5 \Rightarrow x \in [10; 13,5]$. Suy ra $a = 10$ và $b = 13,5$. Vậy $2a + b = 2 \cdot 10 + 13,5 = 33,5$.